Pesquisadores reportaram forma geométrica que consegue cobrir um plano infinito sem repetição de padrões

Figura 1. A telha aperiódica reportada (verde), e com formato singular e fechado. Essa telha pode ser reorganizada infinitamente no plano sem repetição de padrões mesmo com reflexões (à direita). À esquerda, formato regular da telha aperiódica (polígono de 14 lados). Ref.3

Após 60 anos de busca, matemáticos podem ter finalmente encontrado uma "telha" (tile) individual (monotelha) genuinamente aperiódica (Fig.1). Monotelhas (monotiles) aperiódicas, também conhecidas como um "einstein", são formas geométricas fechadas que podem cobrir um plano (superfície bidimensional) infinito, mas sem nunca repetir um padrão no "telhado" resultante. Essas formas possuem simetria translacional: um padrão de colmeia, por exemplo, pode ser repetido para sempre e parecer idêntico após ser rotacionado bidimensionalmente em qualquer de seis direções por qualquer número de células. Mas em um telhado aperiódico, os padrões formados são sempre únicos.

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Em março deste ano, um time de pesquisadores anunciou um importante avanço na busca por uma telha aperiódica. David Smith, um matemático amador residente de Bridlington, Reino Unido, descobriu uma forma que ele suspeitou ser uma telha aperiódica, e, junto com três matemáticos profissionais, Smith demonstrou uma prova que sua telha - junto com sua imagem espelho (Fig.2) - pode ser usada para construir coberturas aperiódicas infinitas em um plano. A prova foi descrita em um estudo publicado ainda como preprint (Ref.2), mas segundo matéria publicada hoje na Nature (Ref.2), matemáticos não-associados ao estudo têm reportado que o paper parece ser rigoroso nas demonstrações matemáticas.

Figura 2. Forma (destacada em cinza) que pode cobrir uma área infinita sem repetição de padrão mas apenas quando aliada com sua imagem espelhada. Ref.2

A forma originalmente proposta por Smith não é efetivamente uma telha aperiódica singular (monotelha) porque é composta por duas distintas telhas (telha e espelho) - e ambas as versões são requeridas para cobrir o plano sem periodicidade de padrão. Mas agora, o mesmo grupo de matemáticos reportou uma versão modificada da telha original que é capaz de construir telhados aperiódicos sem necessidade de uma imagem refletida, ou seja, reais monotelhas aperiódicas (Fig.3). A prova dessa versão - e de outras derivadas chamadas de Espectros - foi publicada esta semana como preprint (Ref.3). Na Fig.1, podemos ver planos cobertos com as novas telhas propostas - monotelhas quirais aperiódicas.

Figura 3. Polígono de 14 lados (à esquerda), caracterizando uma monotelha aperiódica quiral fraca: se proibido mistura de telhas refletidas e não-refletidas, os padrões são sempre aperiódicos no plano do telhado. Ao modificar suas quinas (arestas), como mostrado nas formas do centro e da direita, obtemos monotelhas aperiódicas quirais estritas chamadas de "Espectros" que formam telhados aperiódicos mesmo quando reflexões são permitidas. Ref.3

Os primeiros telhados aperiódicos foram descobertos na década de 1960, e envolviam 20426 tipos de telhas. Após várias otimizações, Roger Penrose, um matemático na Universidade de Oxford, Reino Unido - que ganhou um Prêmio Nobel em Física em 2020 pelo seu trabalho fundamental sobre a teoria de buracos negros -, descobriu o primeiro telhado aperiódico feito de apenas dois tipos de telha, porém, que não eram apenas imagens espelhadas entre elas. Aliás, o telhado de Penrose adorna o pátio do departamento de matemática da Universidade de Oxford.

REFERÊNCIAS